平面トラス 部材力ソルバー

軸力を1本ずつ追いきった最後に「この鉛直材、実はゼロ部材」

構造力学の演習で、トラスの軸力を節点法で追ったことがあるだろうか。左の支点から節点を1つ切り出して ΣFx = 0 と ΣFy = 0 を立て、斜材の方向余弦を電卓に打ち込み、出た値を次の節点へ持ち込む。1つ符号を取り違えると、そこから下流の全部材がずれる。検算で気づいてやり直し、また電卓を叩く。

30分かけて15本の軸力を埋め、答え合わせをしたら解説にこう書いてある。「中央の鉛直材は無応力部材（ゼロ部材）である」。あの脱力感。ゼロだと分かっていれば、そもそもその節点から解き始めればよかった。

そして厄介なのは、ゼロ部材は骨組の形だけで決まるのではないという点だ。同じトラスでも、荷重を上弦に載せるか下弦に載せるかでゼロになる部材が入れ替わる。本ツールはスパン・成・パネル数・荷重を入れるだけで、全部材の軸力を引張＋・圧縮−の符号付きで解き、ゼロ部材を自動で拾い上げる。骨組図の上に赤（引張）・青（圧縮）・グレー破線（ゼロ）で色を塗るので、力の流れが数字を読む前に目に入る。

「ゼロ部材の見つけ方」の解説は山ほどあるのに、答えを出すものが無かった

日本語で「ゼロ部材 求め方」を検索すると、判定規則を教えてくれるページが大量に出てくる。2部材だけが集まる無載荷節点は両方ゼロ、3部材が集まって2本が同一直線なら残り1本がゼロ——どのページも同じ規則を、同じ図で説明している。

ところが「じゃあこの骨組のゼロ部材はどれか」を答えてくれるものが、1つも見つからなかった。海外のトラス計算機はいくつかあるが、節点座標と部材接続を1つずつ入力する自由入力型で、10節点のトラスを組むだけで数分かかる。日本語でもないし、符号規約が圧縮正のものも混ざっていて、教科書と突き合わせる時点でつまずく。

自分でも規則を使って手作業で判定してみて、これが当てにならないことが分かった。規則は「見れば分かる」ものだけを拾う仕組みで、適用漏れが起きても何も教えてくれない。しかも規則で説明できないゼロ部材が実在する。パネル数が奇数の対称載荷トラスでは中央パネルの斜材がゼロになるが、その節点は無載荷でも2部材でも同一直線でもない。せん断力が中央で0になるからゼロになるのであって、節点まわりを見ているだけでは絶対に出てこない。

だから本ツールは、規則で探す方式をやめた。まず 2j 元の連立一次方程式を解いて全部材の軸力を確定させ、その結果から |N| < 1e-6 × max|N| を満たすものをゼロ部材として抽出する。解いてから判定するので、適用漏れが構造的に起きない。規則では説明しにくいゼロ部材も同じ仕組みで拾える。これがこのツールの核だ。

トラスと節点法とは何か — 軸力しか出ない骨組の第一原理

トラス とは：なぜ軸力だけになるのか

トラスは三角形を組み合わせた骨組で、古典的な解析では2つの理想化を置く。**すべての部材の両端はピン接合（回転自由）**であること、荷重は節点にしか作用しないことの2つだ。

この2つを認めると、1本の部材に効く力の形が決まる。両端がピンなら端部にモーメントは伝わらない。部材の途中に荷重が無いのだから、部材に働くのは両端の2つの力だけだ。2つの力だけで釣り合うには、大きさが等しく向きが逆で、しかも同じ作用線上に乗っていなければならない。その作用線は部材の軸そのものになる。結果として部材は軸方向に引っ張られるか押されるかのどちらかしかしない。曲げもせん断も生じない。

これが梁との決定的な違いだ。梁は断面のふちだけが目一杯働き、中立軸の近くはほとんど遊んでいる。トラスは断面全体が均等に働くので、同じ材料でずっと長いスパンを飛ばせる。体育館や工場の屋根、鉄道橋にトラスが使われるのはこの効率のためで、詳しい歴史や形式はトラス構造（Wikipedia）にまとまっている。

節点法 とは：1つの節点から2本の式

軸力しか出ないと分かれば、あとは各節点で力を釣り合わせるだけだ。節点を1つ切り出すと、そこに集まる部材の軸力と外力（荷重・反力）が1点で交わる。1点に集まる力なのでモーメントの式は不要で、水平と鉛直の2式だけが立つ。

節点 i について
  ΣFx = 0   （水平方向の力の総和がゼロ）
  ΣFy = 0   （鉛直方向の力の総和がゼロ）

引張を正とする規約では、軸力 N の部材は自分がつながっている節点を相手側へ引く。だから節点 a に働く力は N ×（a から b へ向かう単位ベクトル） になる。部材の長さを Lk、両端の座標差から求めた方向余弦を ux・uy とすれば、この単位ベクトルがそのまま係数になる。

静定条件 m + 3 = 2j が意味すること

節点が j 個あれば式は 2j 本立つ。未知数は部材の軸力が m 本と、支点反力が3個（左端ピンの水平・鉛直、右端ローラーの鉛直）で m + 3 個ある。

方程式の本数 : 2j
未知数の個数 : m + 3

  m + 3 <  2j  → 部材が足りない。機構になり形が保てない
  m + 3 =  2j  → 静定。釣り合い式だけで全軸力が一意に決まる
  m + 3 >  2j  → 不静定。釣り合いだけでは解けず変形の条件が要る

真ん中の m + 3 = 2j が静定条件だ。この形は「必要な情報がちょうど足りている」ことを意味していて、材料が鋼だろうが木だろうが、断面が太かろうが細かろうが軸力は変わらない。ヤング係数も断面積も要らないというのは、初めて聞くと不思議に思えるが、釣り合い式に材料の性質がどこにも出てこないことを見れば納得できる。ツールでも節点数 j と部材数 m を実数値で並べて表示しているので、この式が成立している様子をそのまま確認できる。

なお左端ピン・右端ローラーという支点の組み合わせは、水平方向を1点だけで拘束する形だ。鉛直荷重しか載せていない本ツールでは、ピンの水平反力は常に0になる。

ゼロ部材（無応力部材）の典型パターン

軸力が0になる部材をゼロ部材、または無応力部材と呼ぶ。教科書に載る典型は2つある。

1. 2部材が集まる無載荷節点：同一直線でない2本しか集まらず荷重も反力も無いなら、両方とも0。互いの方向が違うので、片方が力を持つと打ち消す相手がいない
2. 3部材が集まる無載荷節点で、うち2本が同一直線：同一直線の2本に垂直な方向で釣り合いを取ると、残り1本だけが単独で立つことになり0になる

そして規則では説明しにくい3つ目がある。対称載荷トラスの中央パネルの斜材だ。斜材はそのパネルのせん断力を負担する部材で、左右対称に載荷したトラスの中央ではせん断力が0になる。だから中央の斜材も0になる。節点まわりの部材本数を数えても、この理由には辿り着けない。

ゼロ部材が「不要な部材」ではないことは、はっきり書いておきたい。ゼロになるのはあくまでその載荷条件のときであって、荷重の載る位置が変われば普通に力を持つ。

成を削ると弦材軸力は跳ね上がる — 実務でこの数値が効く理由

トラスの弦材（上弦材・下弦材）の軸力には、実務で覚えておく価値のある関係がある。

弦材の軸力 N ≒ その位置の曲げモーメント M ÷ トラス成 H

トラス全体を1本の梁と見立てたときの曲げモーメントを、上弦と下弦の偶力で受け持つ——という見方だ。上弦が圧縮、下弦が引張になって、その2つが成 H だけ離れて偶力を作る。

この式の怖いところは H が分母にいることだ。実測ケース2（プラット・スパン18m・成2.4m・下弦にP=15kN×5節点）で上弦材 U2 は −84.38kN の圧縮になった。断面法で確かめると、切断位置の曲げモーメントは 202.5kN·m で、これを成2.4mで割って 84.375kN。ここで成だけを半分の1.2mに落とすと、曲げモーメントは変わらないまま軸力が 202.5 ÷ 1.2 = 168.75kN へ、ちょうど倍に跳ね上がる。荷重を1kNも増やしていないのにだ。

だから平行弦トラスの成はスパンの 1/10〜1/15 が目安とされる。スパン18mなら 1.2〜1.8m で、成1.2mはこの下限（L/H = 15）にちょうど当たる。ツールでは L/H 比を常時表示し、15を超えると注意を出すようにしてある。「梁成が納まらないからトラスにした」はずが、成を詰めすぎて弦材が太くなり、結局重くなるという逆転はよく起こる。

もう1つの実害はゼロ部材の扱いだ。実測ケース3のハウトラス（上弦載荷）で中央鉛直材 V2 は 0kN になった。だが同じ骨組のまま荷重を下弦に移したケース4では、V2 は +12kN の引張に転じる。屋根荷重が上弦から入る前提で「V2 は効いていないから省略」とすると、天井や設備を下弦から吊った瞬間に、無いはずの部材が必要になる。

軸力が0でも部材が要る理由は他にもある。長い圧縮弦材の途中に取り付く鉛直材は、面外方向の座屈長を分割する役目を負っている。これを抜くと座屈長が倍になり、オイラー座屈荷重は座屈長の2乗に反比例するので耐力は1/4に落ちる。建方時に骨組の形を保つのも、風など非対称な荷重に備えるのも、ゼロ部材の仕事だ。トラス屋根やトラス橋の崩落は圧縮側の弦材・斜材の座屈が起点になりやすく、そこを支える部材を軸力0だからと省くのは筋が悪い。

なお実際の設計では、この軸力に対して部材断面と接合部を決め、荷重の組合せを踏まえて許容応力度計算を行う（建築基準法施行令（e-Gov法令検索）第3章第8節）。本ツールが出すのは入力した節点荷重に対する軸力までで、自重・積雪・風・地震は含んでいない。

演習の答え合わせから、小屋組の概算まで

構造力学の演習・課題の検算。節点法で解いた答えを1本ずつ突き合わせられる。符号規約が引張＋・圧縮−なので、教科書とそのまま比較できる。どこでズレたかも、部材力一覧を上から見ていけばすぐ分かる。

二級・一級建築士の学科（構造）対策。試験で問われるのは「ゼロ部材はどれか」「この斜材の軸力は」といった形が多い。手で解いてから答え合わせをする、あるいは形式を変えながらゼロ部材の出方のパターンを体に入れる、という使い方ができる。プリセット4件はいずれもゼロ部材が1本以上出る構成にしてある。

小屋組・鉄骨屋根の概算検討。キングポスト（真束）を含む小屋組や、平行弦の鉄骨トラス梁の軸力オーダーを掴むのに使える。最大圧縮の部材名が分かれば、そこから断面選定と座屈検討に進める。

形式の比較検討。同じスパン・同じ成・同じ荷重でワーレン／プラット／ハウを切り替えると、斜材が引張になるか圧縮になるかが形式ごとに変わる。長い部材を引張側に回せる形式を選ぶ、という設計判断の土台になる。

使い方は3ステップ

1. 形式プリセットを選ぶ。ワーレン・プラット・ハウ・キングポストの代表寸法が4件入っている。選ぶと形式・スパン・成・パネル数・荷重・載荷位置の6項目が一括で入る。まずはそのまま結果を眺めるのがいちばん早い。

2. 寸法と荷重を調整する。スパン L・トラス高さ H・パネル数 n・1節点あたりの荷重 P を書き換える。値を手で触るとプリセット表示は「カスタム」に切り替わる。パネル数は分割数なので整数のみ受け付ける。キングポストは形が一意なのでパネル数の欄そのものが消える。

3. 骨組図の色とゼロ部材リストを読む。赤が引張、青が圧縮、グレーの破線がゼロ部材。線の太さは軸力の大きさに比例する。最大引張・最大圧縮は部材名つきでカードに出る。支点反力 RA + RB が載荷合計と一致していることが、そのまま釣り合いの検算になる。載荷位置の3択（上弦全節点／下弦全節点／中央節点のみ）を切り替えて、ゼロ部材がどう入れ替わるかを見てほしい。

実測12ケース：4形式と、同じ骨組で載荷位置だけ変えた対比

以下はすべてツールの計算エンジンで実際に解いた結果だ。軸力は引張が正、圧縮が負。

#	条件	RA = RB	最大引張	最大圧縮	ゼロ部材
1	ワーレン L12m・成1.5m・8パネル・P10kN・上弦	20kN	+40.00kN (L2)	−40.00kN (U2)	2本 D4,D5
2	プラット L18m・成2.4m・6パネル・P15kN・下弦	37.5kN	+75.00kN (L3)	−84.38kN (U2)	1本 V3
3	ハウ L15m・成2.0m・4パネル・P12kN・上弦	18kN	+45.00kN (L2)	−38.25kN (D1)	1本 V2
4	ハウ（3と同一骨組）・下弦	18kN	+45.00kN (L2)	−38.25kN (D1)	0本
5	キングポスト L6m・成1.5m・P20kN・棟（上弦）	10kN	+20.00kN (L1)	−22.36kN (U1)	1本 V1
6	キングポスト（5と同一骨組）・下弦	10kN	+20.00kN (L1)	−22.36kN (U1)	0本
7	プラット L12m・成1.8m・4パネル・P10kN・上弦	15kN	+25.00kN (L1)	−33.33kN (U1)	2本 V1,V3
8	プラット（7と同一骨組）・中央節点のみ	5kN	+9.72kN (D2)	−16.67kN (U1)	3本 V1,V2,V3
9	プラット（7と同一骨組）・下弦	15kN	+25.00kN (L1)	−33.33kN (U1)	1本 V2
10	プラット L15m・成2.0m・5パネル（奇数）・P10kN・上弦	20kN	+45.00kN (L3)	−45.00kN (U1)	3本 V1,V4,D3
11	ワーレン L16m・成2.0m・7→8パネル・P8kN・上弦	16kN	+32.00kN (L2)	−32.00kN (U2)	2本 D4,D5
12	プラット L18m・成2.4m・6パネル・P=0kN・上弦	0kN	0kN (−)	0kN (−)	0本

ケース1：ワーレンの標準形（デフォルト表示）

j = 9、m = 15 で m + 3 = 18 = 2j の静定。全軸力は L1 = L4 = +20、L2 = L3 = +40、U1 = U3 = −30、U2 = −40、D1 = D8 = −28.28、D2 = D7 = +14.14、D3 = D6 = −14.14、D4 = D5 = 0（kN）。

下弦が全部引張・上弦が全部圧縮、斜材は圧縮と引張が交互に並ぶ。これがワーレンの典型的な力の流れだ。中央の下弦節点（x = 6000）が無載荷でせん断力が0になるため、そこに取り付く D4・D5 がゼロ部材になる。断面法での検算も合う。L3 は上弦節点 x = 7500 まわりのモーメント M = 20×7500 − 10×6000 − 10×3000 = 60kN·m を成1.5mで割って +40kN。

ケース2：プラットは弦材が最大になる

L1 = L2 = L5 = L6 = +46.875、L3 = L4 = +75、U1 = U4 = −75、U2 = U3 = −84.375、V1 = V5 = +15、V2 = V4 = −7.5、V3 = 0、D1 = D6 = −60.03、D2 = D5 = +36.02、D3 = D4 = +12.01（kN）。

プラットでは端斜材以外の斜材が引張になる。長い斜材を引張側に回せるので座屈を考えなくてよく、鉄骨トラスで多用される理由がここにある。V3 が0なのは、中央上弦節点 T3 に上弦材 U2・U3（同一直線）と鉛直材 V3 の3本しか集まらず、下弦載荷なので無載荷だからだ。

ケース3・4：ハウは同じ骨組で鉛直材だけが変わる

ハウはプラットの鏡像で、斜材が中央から外へ下る。結果、斜材が全部圧縮になり、最大圧縮が弦材ではなく端斜材 D1（−38.25kN）に出る。上弦載荷（ケース3）と下弦載荷（ケース4）の全軸力を並べる。

部材	ケース3（上弦）	ケース4（下弦）
L1 = L4	+33.75	+33.75
L2 = L3	+45.00	+45.00
U1 = U2	−33.75	−33.75
D1 = D4	−38.25	−38.25
D2 = D3	−12.75	−12.75
V1 = V3	+6.00	+18.00
V2	0	+12.00

弦材も斜材も1kNも動いていない。変わったのは鉛直材だけで、ゼロ部材は消えた。弦材の数字だけ見ていたら載荷位置の違いに気づけない、という良い実例だ。

ケース5・6：キングポストの真束は載荷位置で0にも+20にもなる

小屋組の教科書例。節点は A(0,0)・D(3000,0)・B(6000,0)・C(3000,1500) の4つ、部材は L1 = A–D、L2 = D–B、U1 = A–C、U2 = C–B、V1 = C–D の5本で 5 + 3 = 8 = 2×4 の静定。棟に載せたケース5では L1 = L2 = +20、U1 = U2 = −22.36、V1 = 0。真束がゼロ部材になるという、あの教科書の記述がそのまま出る。

ところが荷重を下弦の中央に移したケース6では、合掌と下弦の軸力は据え置きのまま、V1 だけが 0 → +20kN の引張に変わる。天井を吊れば真束は引張材として働く。真束が「効いていない」のは屋根荷重を棟で受けるときだけだ。キングポストは下弦の中間節点が中央の1点しかないので、「下弦全節点」と「中央節点のみ」は同じ結果になる（仕様として注記を出している）。

ケース7・8・9：同じ骨組を3通りに載荷する

このツールの見せ場。プラット L12m・成1.8m・4パネル・P = 10kN で、載荷位置だけを3通りに切り替えた。

部材	7（上弦）	8（中央のみ）	9（下弦）
L1〜L4	+25.00	+8.33	+25.00
U1 = U2	−33.33	−16.67	−33.33
D1 = D4	−29.15	−9.72	−29.15
D2 = D3	+9.72	+9.72	+9.72
V1 = V3	0	0	+10.00
V2	−10.00	0	0
ゼロ部材	V1, V3	V1, V2, V3	V2

上弦載荷と下弦載荷は、弦材（±25 / −33.33）も斜材（−29.15 / +9.72）も完全に一致する。にもかかわらずゼロ部材は V1・V3 から V2 へ入れ替わり、V2 は圧縮 −10kN から 0 へ、V1・V3 は 0 から引張 +10kN へ移る。中央1点だけに載せたケース8では鉛直材が3本ともゼロになり、最大引張が弦材ではなく斜材 D2（+9.72kN）に出る。規則の暗記ではなく、実際に切り替えて眺めるのがいちばん早い。

ケース10：奇数パネルでも中央斜材がゼロになる

プラットは奇数パネルでも成立する。ただし中央パネルの斜材は左右どちらの向きとも決まらないため、本ツールは「左半分の向き」を採る。骨組は左右非対称になる。それでも結果は L1 = L2 = +30、L3 = +45、L4 = L5 = +30、U1 = U2 = U3 = −45、V1 = V4 = 0、V2 = V3 = −10、D1 = D5 = −36.06、D2 = D4 = +18.03、D3 = 0（kN）と、きれいに左右対称になる。

対称載荷では中央パネルのせん断力が0になるので、非対称に入れた D3 がゼロ部材になり、軸力の分布が対称に戻るからだ。この D3 は、節点まわりの規則では説明できないゼロ部材の実例になっている。

ケース11・12：境界の挙動

ケース11はワーレンに n = 7 を入れた場合。偶数でしか形状が成立しないので実効パネル数8に丸めて計算し、丸めた旨を注記で出す。軸力は L1 = L4 = +16、L2 = L3 = +32、U1 = U3 = −24、U2 = −32、D1 = D8 = −22.63、D2 = D7 = +11.31、D3 = D6 = −11.31、D4 = D5 = 0（kN）。

ケース12は P = 0。荷重0は不正入力ではないのでエラーにせず、反力も全軸力も0で正常終了する。ただし全21部材をゼロ部材として並べても意味が無いので、この場合はゼロ部材の判定を行わず、最大引張・最大圧縮の部材名は「−」を返す。

仕組み — 2j 元の連立方程式を一括で解く

逐次に解くか、まとめて解くか

節点法の実装には2つの道がある。

(a) 教科書どおり1節点ずつ解く。未知数が2個以下の節点を探し、そこから解いて既知の軸力を増やし、また解ける節点を探す。人間の手順そのままで途中経過が追いやすいのが利点だが、実装は面倒だ。「次にどの節点が解けるか」を毎回探索する必要があり、形式やパネル数が変わると解ける順序も変わる。解ける節点が見つからなくなったときの扱いも決めなければならない。

(b) 2j 元の連立一次方程式として一括で解く。全節点の ΣFx = 0・ΣFy = 0 を並べた行列を作り、まとめて解く。本ツールはこちらを採った。理由は2つある。どの節点から解けるかを考える必要が無いこと、そして形式もパネル数も変わっても同じコードで解けることだ。ワーレンもプラットもハウもキングポストも、行列を組み立てるコードは1本で済む。節点座標と部材接続リストさえ用意できれば解ける。

行列の組み立て

未知数は部材軸力 m 本と反力3個で m + 3 = 2j 個。方程式も 2j 本なので、係数行列は正方行列になる。

未知数 u = [N1 … Nm, RAx, RAy, RBy]   （長さ m + 3 = 2j）

部材 k が節点 a と節点 b を結ぶとき
  Lk = hypot(xb - xa, yb - ya)
  ux = (xb - xa) / Lk
  uy = (yb - ya) / Lk

  A[2a  ][k] += ux      // 節点a の ΣFx 行
  A[2a+1][k] += uy      // 節点a の ΣFy 行
  A[2b  ][k] -= ux      // 節点b の ΣFx 行
  A[2b+1][k] -= uy      // 節点b の ΣFy 行

反力の列   A[2p][m] = 1, A[2p+1][m+1] = 1, A[2r+1][m+2] = 1
右辺       載荷節点 i について b[2i+1] += P

A · u = b を部分ピボット選択付きガウス消去法で解く

節点 a と節点 b で符号が逆になるのは、引張正の規約では軸力 N の部材が両端の節点を互いの側へ引き寄せるからだ。部分ピボット選択は、消去の各列でピボットの絶対値が最大の行を選んで入れ替える処理で、小さな値で割ることによる桁落ちを防ぐ。入れ替えてもピボットの絶対値が 1e-10 を下回るなら係数行列が特異、つまり形が定まらない機構だと判断して計算を中止する。

形状生成をパラメータ化する

行列の組み立てが形式に依存しないぶん、形式ごとの違いは「節点座標と部材接続をどう並べるか」に集約される。

ワーレン（鉛直材なし・n は偶数のみ）
  下弦節点 : x = i·d, y = 0  （i = 0, 2, 4, …, n）
  上弦節点 : x = i·d, y = H  （i = 1, 3, 5, …, n−1）
  j = n + 1,  m = 2n − 1  →  m + 3 = 2n + 2 = 2j ✓

プラット／ハウ（平行弦）
  下弦節点 : x = i·d, y = 0  （i = 0 … n）      → n + 1 個
  上弦節点 : x = i·d, y = H  （i = 1 … n−1）    → n − 1 個
  j = 2n,  m = 4n − 3  →  m + 3 = 4n = 2j ✓

キングポスト（形状は一意）
  A(0,0) / D(L/2,0) / B(L,0) / C(L/2,H)
  j = 4,  m = 5  →  5 + 3 = 8 = 2×4 ✓

ここで d = L / n。プラットとハウの違いは中間斜材の向きだけで、プラットは斜材が中央へ下り、ハウはその鏡像になる。ワーレンが偶数パネル限定なのは、上の節点配置が偶数でしか成立しないからだ。下弦を偶数インデックス・上弦を奇数インデックスに置くという並べ方は、n が奇数だと両端の処理が破綻する。選択肢を動的に出し分けるより、奇数入力を次の偶数に丸めて注記を出すほうが実装も表示も単純だと判断した（ケース11）。

キングポストではパネル数を参照しないので、入力欄そのものを非表示にしている。計算が見ていない値を入力欄に残すと、「入れた値が反映された」という誤解を生むためだ。

ゼロ部材は規則ではなく解の結果から拾う

ここが設計上いちばん迷ったところだ。幾何学的な規則（2部材節点は両方0、3部材節点で2本が同一直線なら残り1本が0）を実装して探す方式も考えたが、採らなかった。

理由は2つ。1つは規則の適用漏れが構造的に起きること。載荷パターンが増えるほど、規則の前提（無載荷であること、同一直線であること）の判定条件が増えて、抜けが出やすくなる。もう1つは規則で説明できないゼロ部材が実在することだ。ケース10の中央斜材 D3 がまさにそれで、その節点は無載荷でも2部材でも同一直線でもない。

そこで、解いた軸力から判定する方式にした。全軸力の絶対値の最大を maxAbs として、tol = max(1e-9, 1e-6 × maxAbs) を許容値に置き、|Nk| < tol の部材を厳密に0へ丸めてゼロ部材とする。相対値を使うのは、荷重の大きさが変わってもゼロ部材の判定が同じになるようにするためだ。絶対値 1e-9 の下限を併用するのは、ガウス消去の丸め誤差で残る 1e-15 程度の残差や「−0.00」表示を潰すため。maxAbs 自体が 1e-9 を下回るとき、つまり荷重0のときはゼロ部材の判定を行わない（ケース12）。

計算例：ケース5のキングポストを手順どおり追う

条件  L = 6000mm, H = 1500mm, P = 20kN（棟C に載荷）
節点  A(0,0)  D(3000,0)  B(6000,0)  C(3000,1500)
部材  L1 = A–D,  L2 = D–B,  U1 = A–C,  U2 = C–B,  V1 = C–D

[0] 反力
    対称載荷なので RA = RB = 20 / 2 = 10kN

[1] 合掌の方向余弦
    U1 の長さ = √(3000² + 1500²) = 3354.10mm
    ux = 3000 / 3354.10 = 0.89443
    uy = 1500 / 3354.10 = 0.44721

[2] 節点A（部材は L1・U1、外力は反力 RAy = +10kN）
    ΣFy : N(U1) × 0.44721 + 10 = 0
          → N(U1) = −22.3607kN（圧縮）
    ΣFx : N(L1) + N(U1) × 0.89443 = 0
          → N(L1) = 22.3607 × 0.89443 = +20.00kN（引張）

[3] 節点D（L1・L2・V1 が集まり、上弦載荷なので無載荷）
    ΣFy : N(V1) × 1 = 0        → N(V1) = 0    ← ゼロ部材
    ΣFx : −N(L1) + N(L2) = 0   → N(L2) = +20.00kN

[4] 節点C で検算（U1・U2・V1 と外力 20kN 下向き）
    ΣFy : 22.3607 × 0.44721 × 2 + 0 − 20 = 0 ✓

[3] の節点D が、まさに「3部材節点で2本（L1・L2）が同一直線」のパターンだ。同一直線の2本は鉛直方向に成分を持たないので、鉛直の釣り合いは V1 単独で立つことになり0が確定する。実装では、この手順を人間が追う代わりに 8×8 の行列を一気に消去している。パネル数12のプラットなら j = 24・m = 45 で 48 元の連立方程式になるが、ブラウザ上でも瞬時に解ける規模だ。

他ツールとの違い — 「見つけ方」ではなく答えを返す

解説サイトはゼロ部材の探し方までしか教えてくれない

「トラス ゼロ部材」で検索すると、日本語の解説記事は驚くほど大量に出てくる。2部材だけが集まる節点は両方ゼロ、3部材が集まる節点で2本が同一直線なら残り1本がゼロ — この規則の図解は、どの解説にも丁寧に書いてある。ところが、自分が解きたい骨組を入れると答えが返ってくる場所が無い。規則を覚えても、節点が10も20もある骨組を目でスキャンすれば必ずどこかを見落とす。このツールは規則を教える側ではなく、骨組を解いて「この条件ではこの部材が0だ」と名指しする側に立っている。

自由入力の計算機は入口が遠い

海外には節点座標と部材接続を打ち込んで解くトラス計算機がいくつもある。汎用性は高いが、9節点15部材の骨組を一つ試すだけで座標を9組・接続を15組入力する必要があり、日本語でもない。このツールは形式・スパン・成・パネル数・荷重の5項目だけで骨組を自動生成する。試行錯誤の1周が数秒で回ることを優先した設計だ。

関連ツールとの役割分担

このツールが引き受けるのは軸力を出すところまでだ。梁としてのせん断力図・曲げモーメント図が要るなら梁のSFD/BMD全長プロッタ、求めた圧縮軸力に対して弦材の断面性能を当たるなら鋼材断面のコンシェルジュ、その圧縮材が座屈するかを見るなら座屈荷重チェッカー、固定・積載・積雪・風・地震をどう組み合わせるかは荷重組合せ検定ツールが担当する。軸力から先を欲張らないことで、入力欄を5つに保っている。

トラスの名前に残る19世紀の技術者たち

ハウ・プラット・ワーレンはすべて人名と特許

平行弦トラスの3形式は、いずれも19世紀に橋梁技術者が取得した特許の名前がそのまま残ったものだ（Truss bridge）。

ハウトラスは1840年、米国のウィリアム・ハウ（William Howe）の特許。当時の橋は木材が主材で、鉄はまだ高価だった。斜材が中央から外へ下る配置で、対称な鉛直荷重では斜材が圧縮・鉛直材が引張になる。木材は圧縮に強く引張は接合部で抜けやすいから、斜材を太い木材・鉛直材を細い丸鋼にすれば材料が理にかなう — 時代の要請がそのまま形になっている。ツールでハウ L15m・成2.0m・4パネル・P12kN を上弦載荷で解くと、斜材はD1からD4まですべて負（圧縮）、鉛直材V1・V3は正（引張）と出る。180年前の設計思想が符号として画面に現れる。

プラットトラスは1844年、ケイレブとトーマス・W・プラット（Caleb & Thomas Willis Pratt）父子の特許で、ハウのちょうど鏡像だ。符号も反転し、端を除く中間の斜材が引張、鉛直材が圧縮になる。プラット L12m・成1.8m・4パネル・P10kN の上弦載荷では、中間斜材D2・D3が正、鉛直材V2が負と表示される。鉄が安く手に入るようになると引張材は細い形鋼で足りる一方、圧縮材は座屈するため太くせざるを得ない。長い斜材を引張にできるプラットが全鉄骨の鉄道橋で主流になったのは、この座屈の経済性が効いたからだ。

ワーレントラスは1848年、英国のジェームズ・ワーレン（James Warren）らの特許。鉛直材を持たず二等辺三角形を交互に並べるだけなので部材の種類が少なく、現代の体育館や工場の屋根でもよく見かける。

キングポストとクイーンポスト、日本の小屋組

king post の post は「束（つか）」のこと。中央に1本立てるのが king post、2本立てて中央に水平材を渡すのが queen post で、日本の在来工法ではそれぞれ真束（しんづか）・対束（ついづか）と呼ぶ（小屋組）。和小屋が小屋束で梁の上に荷重を渡していくのに対し、洋小屋は陸梁（下弦）を引張材として使い切ることで大スパンを飛ばす。真束は「棟を支える柱」ではなく引張材だという点が決定的な違いで、上弦（棟）載荷で真束V1がゼロ部材になるのはその性格の裏返しでもある。

使いこなしのTips

• 成だけを動かして L/H の警告位置を掴む: スパンと荷重を固定したまま成の欄だけを上下させると、最大圧縮のカードと L/H 比が連動して動く。自分が扱うスパン帯で「どのあたりから扁平すぎの注意が出るか」を体で覚えておくと、初期の成決めが速くなる。1回ずつ数値をメモするより、成を刻んで通しで眺めるほうが感覚が掴める。

• 形式だけを切り替えて斜材の符号を比べる: 寸法と荷重を触らず、形式のセレクトだけをプラット→ハウと変えてみてほしい。弦材はほとんど動かないのに、斜材の色が青と赤で入れ替わる。長い斜材を引張側に回せる形式はどちらかが、骨組図の色だけで判断できる。座屈を避けたい設計では、この比較がそのまま形式選定の根拠になる。

• 載荷位置の3択を上から順に押す: 同じ骨組のまま上弦全節点→下弦全節点→中央節点のみと切り替えると、ゼロ部材のリストが押すたびに書き換わる。規則を暗記するより、切り替えて眺めるほうが速い。

• 手計算の答え合わせは反力の合計から: 演習を自力で解いたあとは、まず支点反力の合計と載荷合計の一致を見る。ワーレン L12m・成1.5m・8パネル・P10kN・上弦載荷なら、載荷は上弦4節点で計40kN、反力はRA＝RB＝20kNで合計40kN。ここが合っていなければ、その先の軸力を突き合わせても意味がない。

よくある質問

ゼロ部材は0なのだから省略してよい？

してはいけない。ゼロ部材が0になるのは、今入力した載荷条件のもとでの話にすぎない。荷重が片側だけに載る非対称な状態、施工中の仮受け、風の吹上げ、積雪の偏り——設計で想定すべき荷重ケースはひととおり試す必要がある。このツールは1回に1つの載荷条件しか解かないので、上弦・下弦・中央の3択を切り替えて、どのケースでも0のままかを確かめてほしい。結果欄のリストは「省いてよい部材の一覧」ではなく「この載荷では効いていない部材の一覧」と読むのが正しい。

ワーレンでパネル数に奇数を入れると勝手に変わるのはなぜ？

ワーレントラスは下弦の節点を偶数番目・上弦の節点を奇数番目に交互に置くことで三角形が連続する形式で、これが成り立つのはパネル数が偶数のときだけだ。奇数にすると端部の三角形が閉じず、静定条件 m + 3 = 2j を満たさない。そこでツールは奇数入力を次の偶数へ丸め、丸めた旨の注記と実効パネル数を表示する。入力欄から奇数を弾く手もあったが、なぜ成立しないのかを知らせるほうが学習の役に立つ。プラットとハウは奇数でも成立するので丸めない。

たわみや部材断面まで出せる？

出せない。軸力を出すところがこのツールの守備範囲だ。節点変位やたわみを求めるには剛性法に切り替えたうえで全部材の断面積Aとヤング係数Eを入力する必要があり、「形式と寸法と荷重を入れるだけ」という入口が一気に遠くなる。断面の選定はいったんツールを離れ、求めた圧縮軸力に対して座屈を確認し、断面性能を当たる流れになる。逆に言えば、断面情報が不要で骨組の形と荷重だけで軸力が決まるのは、静定トラスならではの性質でもある。

下弦載荷を選んだのに載荷節点数が節点の数より少ないのはなぜ？

支点そのものに載る荷重を除外しているためだ。左端のピン支点と右端のローラー支点に直接載った荷重は、そのまま真下の反力へ流れて部材力に一切寄与しない。含めてしまうと、載荷合計だけが増えて軸力が変わらないという分かりにくい結果になる。そこで下弦全節点では、支点2箇所を除いた中間節点にのみ荷重を載せている。ワーレンでパネル数2かつ下弦載荷を選ぶと載荷できる節点が無くなるため、条件を変えるよう案内が出る。

自重や風荷重・積雪荷重は含まれている？

含まれていない。計算に入るのは入力した節点荷重だけで、部材の自重も屋根材の重量も自動では加算されない。実務では固定荷重・積載荷重・積雪・風・地震を組み合わせた設計用荷重を求め、それを節点数で割った値を入力してほしい。もう一点、このツールは全部材が両端ピン接合という古典的な理想化に基づく。実際の鉄骨トラスはガセットプレートで剛接合に近く、部材には曲げによる二次応力が生じる。最終的な設計は構造計算ソフトと構造設計者の判断で確認するべきものだ。

入力したスパンや荷重はどこかに送信される？

されない。形式・スパン・成・パネル数・荷重・載荷位置のすべてはブラウザ内のJavaScriptで処理していて、サーバーへ送る通信は行っていない。連立方程式を解いているのも閲覧中の端末のCPUだ。入力値を保存する仕組みも持たないので、ページを閉じれば何も残らない。実案件の寸法や荷重をそのまま打ち込んで構わない。結果は部材力一覧のコピーボタンでテキストとして取り出せる。

まとめ

トラス形式・スパン・成・パネル数・荷重の5項目から、全部材の軸力を引張＋・圧縮−の符号付きで解き、見落としやすいゼロ部材を名指しで拾い上げる。骨組図の赤と青とグレー破線を眺めるだけで、力の流れが掴めるはずだ。

求めた圧縮軸力から座屈を確認するには座屈荷重チェッカー、弦材の断面性能と重量を当たるには鋼材断面のコンシェルジュ、梁として解くケースとの比較には梁のSFD/BMD全長プロッタ、節点荷重の元になる設計用荷重の組合せには荷重組合せ検定ツールが使える。

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