梁の断面にかかる力、手計算で追い切れていないかも
梁やフレーム構造の設計で、「この断面にかかる軸力・せん断力・曲げモーメントを出したいだけ」という場面は頻繁にある。荷重が2〜3本なら紙と電卓でも何とかなるが、斜め荷重やモーメント荷重が混ざり始めると、ベクトルの分解と外積の符号管理が一気に煩雑になる。
このツールは、そうした「平面問題の断面力を手っ取り早く出したい」需要に特化して作った。3D版も提供しているが、梁・ラーメン構造の断面力は2Dで十分な場面が大半だ。
なぜ2D版を別に作ったのか — 3D版では重すぎた
3Dベクトル合成ツールは断面力6成分（N・Vy・Vz・Mx・My・Mz）を空間荷重から算出する高機能ツールだ。しかし実務で最も多いのは平面問題 — 梁の曲げ設計、ラーメン構造の柱脚応力度計算、片持ち梁の手計算検証など、紙面内で完結するケースがほとんどだった。
3D版を使うと、Z方向の成分やローカルY軸のグラム・シュミット直交化といった概念が入り、「ただ曲げモーメントを出したいだけなのに」という人にはハードルが高い。平面問題は断面力3成分（N・V・M）で必要十分。法線方向の角度θだけでローカル座標系が一意に決まるので、直交化の概念すら不要になる。
操作ステップも半分以下。荷重を登録して断面の位置と角度を決めたら即結果が出る。学習コストを下げたかったのが、2D版を分離した最大の理由だ。
断面力3成分とは — 梁を「切った」ときに見える3つの力
断面力 N・V・M の意味
構造部材の任意の断面を仮想的に切断したとき、切断面に作用する内力を断面力と呼ぶ。2次元（平面問題）では3つの成分に分解できる。
- 軸力 N（Normal force） — 断面法線方向の押し引き力。引張が正
- せん断力 V（Shear force） — 断面に沿った方向のずれ力
- 曲げモーメント M（Bending moment） — 断面を曲げようとする回転モーメント
イメージとしては、長い棒の途中をスパッと切ったときに、切り口に「引っ張られている（N）」「ずれている（V）」「曲がっている（M）」という3種類の力が伝わっている状態を数値化する行為だ。
2Dと3Dの対応関係
2D (3成分) 3D (6成分)
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N (軸力) → N (軸力)
V (せん断力) → Vy (断面内1方向のせん断力)
M (曲げモーメント) → Mz (紙面垂直軸まわりの曲げ)
2Dでは不要: Vz, Mx(ねじり), My
平面問題では、断面内にせん断力の方向が1つしかなく、ねじりモーメントも発生しない。だから6成分のうち3成分だけで完全に記述できる。
ローカル座標系の構築
断面力を分解するには、その断面に固有のローカル座標系が必要だ。2Dでは法線角度θだけで一意に決まる。
n = (cosθ, sinθ) ... 断面法線ベクトル → 軸力 N の方向
t = (-sinθ, cosθ) ... 断面接線ベクトル → せん断力 V の方向
3D版ではグラム・シュミット直交化が必要だが、2Dではθから三角関数で直接算出できる。これが2D版が圧倒的にシンプルになる理由だ。
断面力の解析手法 比較
断面力を求める方法はいくつかある。それぞれの特徴を整理しておこう。
| 手法 | 概要 | 向いている場面 | 限界 |
|---|---|---|---|
| つり合い方程式法 | 自由物体図を描いてΣF=0, ΣM=0を立式 | 教科書の基本問題、単純な荷重条件 | 荷重数が増えると式が爆発する |
| ベクトル射影法（本ツール） | 各荷重を内積で射影しΣで合計 | 多数の荷重を扱う実務計算 | ベクトルの概念が必要 |
| 有限要素法（FEM） | 部材をメッシュ分割して全体解析 | 複雑な形状・分布荷重 | セットアップが重い |
| マトリクス変位法 | 剛性行列を組んで節点変位→部材力 | フレーム構造全体の解析 | 断面力ピンポイントには過剰 |
本ツールで採用したベクトル射影法は、「任意の断面位置で断面力を直接算出する」という用途に最もフィットする。つり合い方程式法と違い、荷重数に対して計算量が線形にしか増えないため、10本でも20本でもストレスなく処理できる。
断面力の歴史的背景 — ナビエとコーシーの貢献
断面力の概念は、19世紀前半のフランスで体系化された。クロード＝ルイ・ナビエ（1785-1836）が梁の曲げ理論を定式化し、オーギュスタン＝ルイ・コーシー（1789-1857）が応力テンソルの概念を確立した。「仮想的に断面を切断して内力を調べる」という手法は、コーシーの応力原理に由来する。
現代の構造設計では、JIS B 8265（圧力容器）や建築基準法施行令 第82条が荷重の組み合わせに基づく断面力の算出を義務付けている。つまり断面力は「理論的に面白い概念」ではなく、「法令で計算が求められている実務上必須の数値」だ。
参考: Wikipedia — 断面力 / Wikipedia — コーシーの応力原理
断面力がなぜ重要か — 設計の入口であり品質の基盤
断面力 → 応力度 → 安全率の流れ
構造設計のフローは「外力 → 断面力 → 応力度 → 許容応力度との比較」という一本道だ。断面力が間違っていれば、その下流すべてが狂う。
外力（荷重） → 断面力（N, V, M） → 応力度（σ, τ） → 安全率 S
材料力学の基礎公式との関係はこうなる。
曲げ応力度: σ = M / Z （Z: 断面係数）
せん断応力度: τ = V / A （A: 有効断面積）
軸応力度: σ_N = N / A
例えば曲げモーメント M を30%過小評価すると、安全率が1.43倍に水増しされる。S=1.2（注意レベル）が S=1.7（安全）と誤判定されてしまう。
JIS B 8501（圧力容器）や建築基準法施行令 第82条では、荷重の組み合わせに基づく応力度計算が義務付けられている。断面力の正確な算出は法令遵守の観点からも重要だ。
こんな場面で2D断面力ツールが活躍する
- 片持ち梁の設計 — 先端荷重＋自重による根元断面の曲げモーメントとせん断力を即算出
- 単純支持梁の検証 — 複数の集中荷重が作用する梁の任意断面における断面力を確認
- ラーメン構造の柱脚 — 水平力＋鉛直荷重が同時に作用する柱脚の断面力を手計算で照合
- 教育用途 — 材料力学の授業で「荷重 → 断面力」の概念を初めて学ぶ学生の理解を助ける
基本の使い方 — 3ステップで完了
ステップ1: 荷重を登録する 「+力荷重」または「+モーメント荷重」ボタンで荷重を追加。直交成分（Fx, Fy）か大きさ+角度で入力。作用点の座標も忘れずに。
ステップ2: 評価断面を設定する 断面中心(x, y)と法線角度θを入力。プリセットボタン（→↑←↓）で代表的な方向をワンタップ設定。
ステップ3: 結果を確認する 計算結果テーブルでN・V・Mの値と各荷重の寄与率を確認。SVGビューアで矢印と断面の位置関係を視覚チェック。「結果をコピー」でTSV形式で取得可能。
使用例 — デモデータで計算過程を検証する
ケース1: 鉛直荷重のみ
法線角度 θ = 0°（法線が X 正方向）、鉛直荷重 Fy = −500 N が作用点 (300, 0) に作用する場合。
n = (cos0°, sin0°) = (1, 0)
t = (-sin0°, cos0°) = (0, 1)
r = (300-0, 0-0) = (300, 0)
F = (0, -500)
N = F · n = 0×1 + (-500)×0 = 0 N
V = F · t = 0×0 + (-500)×1 = -500 N
M = cross2d(r, F) = 300×(-500) - 0×0 = -150,000 N·mm
鉛直荷重は法線方向（X方向）に成分がないのでN=0、接線方向（Y方向）にそのまま伝わるのでV=-500 N。作用点が断面中心からX方向に300離れているため、大きな負の曲げモーメントが生じる。
ケース2: 水平荷重のみ
Fx = 200 N が作用点 (300, 100) に作用する場合。
r = (300, 100)
F = (200, 0)
N = 200×1 + 0×0 = 200 N
V = 200×0 + 0×1 = 0 N
M = 300×0 - 100×200 = -20,000 N·mm
水平力が法線方向にそのまま軸力として伝わる。作用点がY方向に100ずれているため曲げモーメントが発生する。
ケース3: 斜め荷重（polar入力）
大きさ 400 N、角度 45° が作用点 (200, 0) に作用する場合。
F = (400×cos45°, 400×sin45°) = (282.84, 282.84)
N = 282.84×1 + 282.84×0 = 282.84 N
V = 282.84×0 + 282.84×1 = 282.84 N
M = 200×282.84 - 0×282.84 = 56,569 N·mm
45°の斜め荷重はN方向とV方向に等分配される。
ケース4: 外部モーメントのみ
Mz = 50,000 N·mm のモーメント荷重の場合。
N = 0
V = 0
M = 50,000 N·mm（スカラー値がそのまま加算）
純粋モーメントは位置に依存せず、直接Mに寄与する。注意点として、モーメント荷重の作用点座標はN・Vには影響しないが、ツール上では位置を記録するので可視化の参考にはなる。
ケース5: 複数荷重の合成（鉛直+水平+モーメント）
3つの荷重を同時に作用させた場合。Fy = −500 N（作用点(300, 0)）、Fx = 200 N（作用点(300, 100)）、Mz = 50,000 N·mm。法線角度 θ = 0°。
荷重1: N=0, V=-500, M=-150,000
荷重2: N=200, V=0, M=-20,000
荷重3: N=0, V=0, M=50,000
合計: N = 200 N, V = -500 N, M = -120,000 N·mm
寄与率を見ると、Nは荷重2が100%支配、Vは荷重1が100%支配、Mは3荷重が拮抗している。複数荷重があるときほど寄与率テーブルが役立つ。よくある間違いは、モーメント荷重の符号を逆に入力してしまうこと。反時計回りが正だ。
ケース6: 断面角度θ=45°の斜め断面
鉛直荷重 Fy = −1000 N が作用点 (500, 0) に作用。断面中心を (0, 0)、法線角度 θ = 45° に設定。
n = (cos45°, sin45°) = (0.707, 0.707)
t = (-sin45°, cos45°) = (-0.707, 0.707)
r = (500, 0)
F = (0, -1000)
N = 0×0.707 + (-1000)×0.707 = -707.1 N
V = 0×(-0.707) + (-1000)×0.707 = -707.1 N
M = 500×(-1000) - 0×0 = -500,000 N·mm
θ=45°では鉛直荷重がN方向とV方向に等分配される。注意すべきは、Nが負（圧縮方向）になっている点。梁の曲げ設計では引張を正と取るのが一般的なので、符号の解釈を間違えないようにしよう。
仕組み — 2Dベクトル射影法による断面力算出
候補手法の比較
断面力を求める手法としては、(1) 力の釣り合い方程式を連立して解く手法、(2) ベクトル射影法で直接算出する手法がある。
連立方程式法は教科書的だが、荷重数が増えると式の数が爆発する。一方ベクトル射影法は「各荷重をローカル座標系に内積で射影し、独立に3成分を求めて合計する」だけなので、荷重数に対して線形にスケールする。このツールではベクトル射影法を採用した。
計算フロー
1. 法線角度θからローカル座標系を構築
n = (cosθ, sinθ), t = (-sinθ, cosθ)
2. 各力荷重について:
r = 作用点 - 断面中心
N_i = dot(F, n) = Fx·cosθ + Fy·sinθ
V_i = dot(F, t) = -Fx·sinθ + Fy·cosθ
M_i = cross2d(r, F) = rx·Fy - ry·Fx
3. 各モーメント荷重について:
N_i = 0, V_i = 0, M_i = mz
4. 合計:
N = Σ N_i, V = Σ V_i, M = Σ M_i
cross2d（2D外積スカラー）の意味
3Dの外積 r × F は3次元ベクトルだが、2Dでは「紙面に垂直な成分」のスカラー値だけが意味を持つ。これが cross2d(r, F) = rx·Fy - ry·Fx であり、2D平面における「作用点まわりのモーメント」そのものだ。
正の値は反時計回り（左ねじ方向）のモーメント、負の値は時計回りのモーメントに対応する。
3D版との簡略化ポイント
3D版ではローカル座標系の構築にグラム・シュミット直交化（法線とローカルY軸から3軸を正規直交化する処理）が必要だが、2Dでは角度θから三角関数で n, t が一意に決まるため、直交化処理が完全に不要になる。この簡略化が計算の透明性を大幅に高めている。
他ツールとの違い — 3D版・beam-strength・手計算
| 比較軸 | 2D版（本ツール） | 3D版 | beam-strength |
|---|---|---|---|
| 成分数 | N, V, M（3成分） | N, Vy, Vz, Mx, My, Mz（6成分） | σ, τ, δ（応力度・たわみ） |
| 座標系 | 角度θのみ | 法線+ローカルY軸+直交化 | 固定（梁方向） |
| 荷重 | 2D力 + モーメント | 3D力 + 3Dモーメント | 集中荷重・分布荷重 |
| 用途 | 平面問題の断面力 | 空間問題の断面力 | 梁の応力度・安全率 |
3D版は空間荷重が必要な場合（配管サポート、架台の3方向荷重など）に使い、平面問題はこちらの2D版で十分。beam-strengthは断面力の先にある「応力度 → 安全率」の判定に使う。本ツールで出したN・V・Mをbeam-strengthに引き継ぐ運用が効率的だ。
豆知識 — SFDとBMDの関係
構造力学で登場するSFD（せん断力図）とBMD（曲げモーメント図）は、梁の全長にわたって断面位置を連続的に変化させたときのV(x)とM(x)のグラフだ。本ツールは「1つの断面位置でのピンポイント値」を出すツールだが、断面位置を手動で何箇所か変えて結果を記録すれば、SFD/BMDの各点を手作業で描ける。
SFDとBMDの間には微分関係がある。
dM/dx = V （曲げモーメント図の傾き = せん断力）
dV/dx = -w （せん断力図の傾き = 分布荷重の反転値）
この関係は「せん断力がゼロになる点で曲げモーメントが極値を取る」という設計上の重要な知見に直結する。最大曲げが発生する位置を素早く見つけたいなら、まずV=0の点を探すのが定石だ。
参考: Wikipedia — せん断力図と曲げモーメント図
Tips — 2D断面力ツールを使いこなすコツ
- 法線角度θの決め方: θ=0°で法線がX正方向（部材が水平方向に延びている場合の梁端断面）。θ=90°で法線がY正方向（柱の断面）。部材軸の方向に法線を合わせるのが基本
- 座標系の取り方: Y軸上向き正（数学座標系）。実務で「下向きを正」にしている場合は、入力時に符号を反転させて使う
- モーメント荷重の符号: 反時計回りが正。時計回りのモーメントを入力するときは負値にする
- 寄与率の読み方: 寄与率100%の荷重はその断面力成分を支配している荷重。複数荷重が拮抗している場合は寄与率が分散する
よくある質問
3D版との違いは何ですか？
3D版は断面力6成分（N・Vy・Vz・Mx・My・Mz）を空間荷重から算出するツールです。2D版は平面問題に特化し、断面力3成分（N・V・M）を算出します。平面問題では3成分で十分なため、2D版の方がシンプルで操作が速いです。法線方向も角度θ1つで指定できます。
分布荷重はどう扱えばよいですか？
本ツールは集中荷重のみ対応です。分布荷重は「等価集中荷重」に変換してから入力してください。例えば等分布荷重 w [N/mm] が長さ L に作用する場合、合力 = w×L を中央位置に集中荷重として入力します。三角分布荷重の場合は合力 = w×L/2 を荷重重心位置に入力します。
符号規約はどうなっていますか？
座標系はY軸上向き正の数学座標系です。力は各軸正方向が正。モーメントは反時計回りが正。断面力のうち軸力Nは法線方向引張が正、せん断力Vは接線正方向が正、曲げモーメントMは反時計回りが正です。
計算データはどこに保存されますか？
入力データはブラウザのメモリ上にのみ存在し、サーバーには送信されません。計算結果はlocalStorageに一時保存され、他のMahiro Appsツール（beam-strength等）との連携に使用されます。ページを閉じるとメモリ上のデータは失われます。
まとめ
2Dベクトル合成ツールは、平面問題の断面力3成分（N・V・M）を手軽に算出するためのツールだ。3D版の複雑さを排し、角度θだけでローカル座標系を構築する直感的なUIを提供する。
より複雑な空間荷重を扱う場合は3Dベクトル合成ツールを、断面力から応力度・安全率を求めたい場合は梁の安全審判員を、断面係数が必要な場合は鋼材断面のコンシェルジュを活用してみてほしい。
ご意見・ご要望はX (@MahiroMemo)からお気軽にどうぞ。