歯数・モジュール・ピッチ円を相互計算＋歯車ペア＆歯形プレビュー
歯車の設計図面を渡されて「モジュール1.5、歯数24のピッチ円直径は？」と聞かれたとき、暗算でパッと出せる人はそう多くない。設計の現場では歯数（z）、モジュール（m）、ピッチ円直径（d）の3つの値を頻繁に行き来する。
このツールは、3つのうち2つを入力するだけで残りの1つを自動計算する。さらに歯先円直径・歯底円直径・円周ピッチなどの関連値も3列グリッドで一覧表示し、SVGで歯形をプレビューできる。歯車ペアモードでは減速比を指定するだけで従動歯車の寸法と噛み合わせプレビューまで自動生成。比較テーブルで複数条件の横並び検討もできる。電卓を叩く手間をゼロにする、機械屋のための概算チェッカーだ。
なぜギアモジュール計算を作ったのか
開発のきっかけ
ある日、後輩から「この歯車の外径って何mmですか？」と聞かれた。図面にはモジュール2、歯数30とだけ書いてある。d = m × z = 60mm、歯先円は d + 2m = 64mm。簡単な計算だけど、確認のために毎回電卓を叩くのが地味に面倒だった。
既存のオンラインツールも調べてみた。5つほど試したが、どれも入力欄が多すぎたり、転位係数やヘリカル角まで必須入力だったりで、「ちょっと確認したいだけ」の用途には重すぎる。逆にシンプルすぎて歯先円直径が出ないものもあった。さらに、減速機の設計で「小歯車と大歯車を並べて検討したい」という場面では、既存ツールだと2つのタブを行き来する羽目になる。
「歯数とモジュールを入れたら、欲しい値が全部出てくる。ペアの歯車も一画面で確認できる」——そんなツールが欲しかった。
こだわった設計判断
計算モードの3択切替を導入した。従来のツールは「全部入力して計算ボタンを押す」形式が多いが、実務では「z と m は分かっている」「d と z から m を逆算したい」のように、知っている値の組み合わせが決まっている。計算モードを明示することで、どの値が入力でどの値が出力かが一目で分かる。
3列グリッドの結果表示にした。歯数・モジュール・ピッチ円直径を1行目に、歯先円・歯底円・円周ピッチを2行目に並べることで、全6値を視線移動なしで把握できる。計算された値はハイライト表示されるので、入力と出力の区別も直感的に分かる。
歯車ペアモードは、減速機設計の最も一般的なワークフローに対応するために作った。減速比を入力するだけで従動歯車の歯数・ピッチ円・中心間距離が自動算出され、2枚の歯車が噛み合ったSVGプレビューも表示される。
アンダーカット警告も実装した。圧力角ごとのアンダーカット限界歯数（20°なら17枚以下）を自動判定し、該当する場合は警告を表示する。記事で解説している知識をツール側でも活用できるようにした。
JIS標準モジュール最寄りガイドは、モジュール逆算（z + d → m）で非標準値が出たとき、前後のJIS標準値とそのときの歯数・ピッチ円を自動提案する。市販品を探す実務フローに直結する機能だ。
外部APIを使わない設計にした。すべてブラウザ内で計算が完結するので、社内ネットワークでも使えるし、入力した設計データが外部に漏れることもない。
モジュールとは何か — 歯車の「歯の大きさ」を決める基本単位
歯車の基本パラメータ — 歯数・モジュール・ピッチ円直径
歯車の設計は、3つの基本パラメータの関係から始まる。歯数（z） は歯の枚数、モジュール（m） は歯の大きさを表す指標、ピッチ円直径（d） は歯車のかみ合いの基準となる仮想的な円の直径だ。この3つは次の関係式で結ばれている:
d = m × z
たとえばモジュール2、歯数20の歯車のピッチ円直径は 2 × 20 = 40mm。この式さえ覚えておけば、3つの値のうち2つが分かれば残りは自動的に決まる。
モジュールは「ピッチ円直径を歯数で割った値」とも言い換えられる。直感的には「歯1枚あたりのピッチ円上の占有サイズ」に近い概念で、JIS B 1701-1で標準モジュール値が規定されている。
日常のたとえ — ピザのスライスで理解するモジュール
丸いピザを等分にカットする場面を想像してほしい。ピザの直径がピッチ円直径、カットした枚数が歯数に対応する。モジュールは「1枚あたりのサイズ感」を決める数値だ。
同じ直径（ピッチ円）のピザでも、8等分（歯数8）すれば1枚が大きく（モジュールが大きい）、16等分（歯数16）すれば1枚が小さくなる（モジュールが小さい）。歯車も同じで、モジュールが大きいほど歯が大きく頑丈になるが、歯車全体のサイズも大きくなる。
歯先円・歯底円・円周ピッチ — 派生する重要な寸法
ピッチ円直径が決まると、歯車の外形寸法も自動的に決まる。
歯先円直径 da = d + 2m （歯車の最外径）
歯底円直径 df = d - 2.5m （歯溝の底の直径）
歯たけ h = 2.25m （歯先から歯底までの高さ）
円周ピッチ p = π × m （隣り合う歯のピッチ円上の間隔）
歯先円直径（da）がいわゆる「歯車の外径」で、部品のスペース確認やノギスでの実測に使う値。歯底円直径（df）は歯溝の底で、軸穴やボスのサイズ検討に関わってくる。
参考: 歯車 - Wikipedia、インボリュート歯車 - Wikipedia
モジュール選定が設計品質を左右する理由
かみ合い率と伝達効率 — 歯数が少なすぎると何が起きるか
歯車の伝達性能を決める重要な指標にかみ合い率がある。これは「常に何枚の歯がかみ合っているか」を表す数値で、1.2以上が実用的な下限とされている。歯数が少なすぎるとかみ合い率が低下し、振動・騒音の原因になる。
特に圧力角20°の標準歯車では、歯数17枚以下でアンダーカット（歯元の切り下げ）が発生する。歯元が痩せて強度が低下し、最悪の場合は歯の折損につながる。この限界歯数を知っておくことは、モジュール選定の大前提だ。本ツールではアンダーカット該当時に自動で警告が表示される。
JIS標準モジュールと市販品の入手性
JIS B 1701-1では、0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.8, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 16, 20... といった標準モジュール値が規定されている。実務で重要なのは、JIS標準モジュールの歯車は市販品として入手しやすいという点だ。
非標準のモジュール（たとえば m=1.7）で設計すると、特注の切削工具が必要になりコストが跳ね上がる。逆に標準モジュールに合わせておけば、市販のカタログ品から選べる可能性が高く、コストも納期も有利になる。本ツールの「z + d → m」モードでは、逆算結果が非標準値の場合に前後のJIS標準モジュールと対応する歯数・ピッチ円を自動提案する。
歯車強度とモジュールの関係
歯車の曲げ強度は歯元の断面積に比例する。モジュールが大きいほど歯が太く、曲げ強度が高い。一方で、同じピッチ円直径のままモジュールを大きくすると歯数が減り、かみ合い率が下がって振動が増える。
たとえばピッチ円直径60mmの歯車で比較してみよう。モジュール1なら歯数60で滑らかだが歯が細い。モジュール3なら歯数20で頑丈だが、かみ合い率がギリギリになる。モジュール5だと歯数12で、圧力角20°ではアンダーカットが発生するため実用できない。比較テーブル機能を使えば、このような複数条件の横並び検討がワンクリックでできる。
この強度と滑らかさのトレードオフを最適化するのが歯車設計の肝であり、モジュール計算ツールで「歯数を変えたらどうなるか」をサッと確認できることに実務的な価値がある。
面圧強度とモジュールの見落としがちな関係
歯車の破損モードは曲げ折損だけではない。歯面のピッチング（面圧疲労）も重要な破損原因だ。面圧強度はヘルツの接触応力理論に基づいて評価され、歯面の接触楕円の大きさに依存する。モジュールが大きいほど歯面の曲率半径が大きくなり、単位面積あたりの荷重が分散されるため面圧には有利になる。
JIS B 1759では歯車の面圧強度計算法が規定されており、産業用減速機ではこの面圧強度が設計のボトルネックになることが少なくない。モジュール選定の段階で「このモジュールなら歯面幅をどれだけ取る必要があるか」の目安を立てるために、まずピッチ円直径と歯数の関係を正確に把握しておくことが出発点になる。
歯車設計のこんな場面で
機械設計の概算チェック
CADで歯車を描く前に、ピッチ円直径や歯先円直径の概算値をサッと確認したい場面。図面のレビューで「この歯車の外径合ってる？」と聞かれたときにも即座に回答できる。
減速機の歯車ペア検討
「減速比3で小歯車モジュール2、歯数20」の組み合わせで、大歯車の外径と中心間距離はいくらか？歯車ペアモードなら、減速比を入力するだけで従動歯車の寸法が一括算出され、噛み合わせのSVGプレビューも表示される。
模型・工作のギア選定
3Dプリンタでギアを作りたいホビイストが、歯数とモジュールから外径を求めてモデリングの参考にする。SVG保存ボタンで歯形画像をダウンロードして設計資料に貼り付けることもできる。
既存歯車のリバースエンジニアリング
手元にある歯車のピッチ円直径をノギスで測って、歯数を数えれば、モジュールを逆算できる。非標準値が出た場合はJIS標準モジュールの最寄りガイドが表示されるので、市販品の候補を絞り込むヒントになる。
基本の使い方
たった3ステップで計算が完了する。
Step 1: 計算モードを選ぶ
「z + m → d」「z + d → m」「m + d → z」の3つから、自分が知っている値の組み合わせを選ぶ。デフォルトは「z + m → d」。歯車ペアモードに切り替えると、従動歯車の入力欄も表示される。
Step 2: 数値を入力する
選んだモードに応じた入力欄に値を入力する。入力欄は2列グリッドで並んでいるので、歯数とモジュールを同時に見ながら入力できる。モジュールはプリセット（JIS標準モジュール）から選ぶか、直接数値を入力できる。詳細モードに切り替えると圧力角や単位の変更、基礎円直径やDP値の表示も可能。
Step 3: 結果を確認する
入力と同時にリアルタイムで結果が3列グリッドに表示される。1行目に歯数・モジュール・ピッチ円直径、2行目に歯先円・歯底円・円周ピッチが並ぶ。計算で求められた値はハイライト表示される。アンダーカット該当時は自動で警告が出る。URL共有ボタンで同僚にリンクを送ることもできる。
具体的な使用例（検証データ）
ケース1: 標準的な平歯車の寸法計算
歯数20、モジュール2の平歯車の各寸法を求める。
入力値:
- 計算モード: z + m → d
- 歯数 z: 20
- モジュール m: 2
計算結果:
- ピッチ円直径 d: 40.000 mm（ハイライト表示）
- 歯先円直径 da: 44.000 mm
- 歯底円直径 df: 35.000 mm
- 円周ピッチ: 6.283 mm
→ 解釈: ピッチ円直径は d = z × m = 20 × 2 = 40mm。歯先円は d + 2m = 44mm で、これが歯車の外径に相当する。
ケース2: ピッチ円直径からモジュールを逆算（JIS最寄りガイド）
外径約50mmの歯車を入手。歯数を数えたら24枚。ピッチ円直径は仮に48mmとして計算。
入力値:
- 計算モード: z + d → m
- 歯数 z: 24
- ピッチ円直径 d: 48
計算結果:
- モジュール m: 2.000 mm（ハイライト表示・JIS標準一致）
- 歯先円直径 da: 52.000 mm
→ 解釈: モジュール2.000はJIS標準モジュールに一致。仮にピッチ円直径を45mmで再計算するとm=1.875（非標準）となり、「近いJIS標準値: m=1.5 → z=30, d=45.0 / m=2 → z=23, d=46.0」のようなガイドが表示される。
ケース3: 歯車ペアモードで減速機の設計
モジュール2、小歯車歯数20で減速比3の歯車ペア。
入力値:
- 機能: 歯車ペア
- 計算モード: z + m → d
- 歯数 z₁: 20, モジュール m: 2
- 減速比: 3
計算結果（駆動歯車）:
- ピッチ円直径 d₁: 40.000 mm
- 歯先円直径 da₁: 44.000 mm
計算結果（従動歯車）:
- 歯数 z₂: 60
- ピッチ円直径 d₂: 120.000 mm
- 歯先円直径 da₂: 124.000 mm
- 中心間距離: 80.000 mm
→ 解釈: 小歯車と大歯車が噛み合ったSVGプレビューも表示される。中心間距離80mmは(d₁+d₂)/2 = (40+120)/2 で計算。減速比は z₂/z₁ = 60/20 = 3.000。
ケース4: アンダーカット警告の確認
圧力角20°でモジュール3、歯数12の歯車。
入力値:
- 計算モード: z + m → d
- 歯数 z: 12
- モジュール m: 3
計算結果:
- ピッチ円直径 d: 36.000 mm
- 警告:「歯数12は圧力角20°のアンダーカット限界（17枚以下）に該当。転位歯車を検討してください」
→ 解釈: 歯数が少ないため、自動でアンダーカット警告が表示される。実務では転位歯車に切り替えるか、モジュールを小さくして歯数を増やす。
ケース5: m + d → z で歯数を逆算（丸め発生）
ピッチ円直径50mm、モジュール3の歯車。歯数はいくつか？
入力値:
- 計算モード: m + d → z
- モジュール m: 3
- ピッチ円直径 d: 50
計算結果:
- 歯数 z: 17（ハイライト表示）
- 丸め前の歯数: 16.67
- 実ピッチ円とのずれ: 1.000 mm
- 警告:「丸めによるピッチ円のずれが6.7%あります」
→ 解釈: d / m = 50 / 3 = 16.67 なので整数17に丸められ、ずれが大きいため警告も出る。d=51mm（z=17, m=3）か d=48mm（z=16, m=3）のどちらかを採用するのが実務的。
ケース6: 比較テーブルで複数条件を横並び検討
同じピッチ円直径60mmを目標に、モジュール違いの3パターンを比較。
比較テーブル入力:
| z | m | d | da | df |
|---|---|---|---|---|
| 60 | 1 | 60.00 | 62.00 | 57.50 |
| 20 | 3 | 60.00 | 66.00 | 52.50 |
| 12 | 5 | 60.00 | 70.00 | 47.50 |
→ 解釈: モジュール1は歯数60で滑らかだが歯が細い。モジュール5は歯数12でアンダーカット発生域。比較テーブルで一目瞭然。
仕組み・アルゴリズム
候補手法の比較
歯車の寸法計算には複数のアプローチがある。
手法A: 解析解（JIS規格の幾何公式） — d = m × z をはじめとする閉形式の公式で各寸法を直接算出する。入力→出力が1ステップで完結し、計算コストはゼロに等しい。標準平歯車（転位なし）であれば、この手法で十分な精度が得られる。
手法B: インボリュート展開による厳密歯形計算 — インボリュート関数 inv(α) = tan(α) - α を用いて歯面の曲線を点列で生成する。転位歯車やクラウニング付き歯車では必須だが、概算チェックには計算が重い。
手法C: 有限要素法（FEM） — 歯面の接触応力や変形をメッシュ分割で数値的に求める。強度設計の最終段階では有用だが、寸法の概算確認には大げさすぎる。
本ツールは手法Aを採用した。理由は明確で、目的が「歯数・モジュール・ピッチ円の相互変換」という概算チェックに限定されているから。転位係数やヘリカル角を含めると入力項目が増え、概算確認という目的からずれてしまう。
基本計算式
d = m × z
ここで d はピッチ円直径（mm）、m はモジュール（mm）、z は歯数（無次元）。この式から任意の1つを他の2つから求められる。
参考: 歯車 - Wikipedia
派生値の計算
歯先円直径 da = d + 2m
歯底円直径 df = d - 2.5m
円周ピッチ p = π × m
基準円直径 db = d × cos(α)
中心間距離 a = (d₁ + d₂) / 2 ← 歯車ペアモード
α は圧力角で、一般的には20°が標準。14.5°は旧規格、25°は高強度用途で使われる。
計算例: ステップバイステップ
モジュール3、歯数25の平歯車を例に、手計算の流れを追ってみよう。
Step 1: ピッチ円直径 d = m × z = 3 × 25 = 75.000 mm
Step 2: 歯先円直径 da = d + 2m = 75 + 6 = 81.000 mm
Step 3: 歯底円直径 df = d - 2.5m = 75 - 7.5 = 67.500 mm
Step 4: 円周ピッチ p = π × m = 3.1416 × 3 = 9.425 mm
Step 5: 基準円直径 db = d × cos(20°)= 75 × 0.9397= 70.477 mm
この一連の計算を、本ツールは入力と同時にリアルタイムで実行している。
カタログや計算シートとの違い
データを外部に送信しない
すべての計算はブラウザ内で完結する。サーバーにデータは送信されない。社内の設計データや試作品の寸法を安心して入力できる。
歯車ペアの噛み合わせプレビュー
減速比を入力するだけで、駆動歯車と従動歯車が噛み合った状態をSVGで描画する。中心間距離も自動算出されるので、ハウジングの設計にそのまま使える。この機能を持つ無料オンラインツールはほとんどない。
比較テーブルで複数条件を横並び
「モジュール2で歯数20」と「モジュール3で歯数14」のように、複数の条件を同時に表示して比較できる。条件の追加・削除もワンクリック。
JIS標準モジュール最寄りガイド
モジュール逆算で非標準値が出た場合、前後のJIS標準値と、そのときの歯数・ピッチ円を自動提案する。市販品の候補を絞り込む手間が省ける。
URL共有で同僚に送れる
計算条件をURLクエリパラメータにエンコードして共有できる。「この歯車の寸法見て」とリンクを送るだけで、相手は同じ計算結果を即座に確認できる。
知っておくと便利な歯車の豆知識
モジュールと歯の大きさの関係
モジュールは「歯の大きさ」を表す指標。モジュール1なら歯の高さ（歯たけ）は約2.25mm、モジュール3なら約6.75mm。モジュールが大きいほど歯が頑丈になるが、歯車全体も大きくなる。同じピッチ円直径ならモジュールが小さいほど歯数が多くなり、滑らかな回転が得られる。
歯数が少ないとアンダーカットが発生する
圧力角20°の標準歯車では、歯数が17枚以下になるとアンダーカット（歯元の切り下げ）が発生する。これは歯の強度を低下させる原因になる。対策として転位歯車を使うことが多い。14.5°の場合は32枚以下でアンダーカットが起きるので、20°が標準になった歴史的背景の一つでもある。本ツールでは圧力角ごとにアンダーカット限界を自動判定して警告を表示する。
インチ系の歯車表記
アメリカやイギリスでは、モジュールの代わりにダイヤメトラルピッチ（DP）を使う。DP = 25.4 / m の関係で、モジュールが大きいほどDPは小さくなる。DP8は約モジュール3.175に相当する。本ツールの詳細モードで単位をinchに切り替えるとDP値も表示される。
使い方のコツ・Tips
Tip 1: モジュール逆算で交換部品を探す
壊れた歯車の交換品を探すなら「z + d → m」モードが便利。歯数を数えて、ノギスでピッチ円直径を測れば、モジュールが逆算できる。非標準値が出たらJIS最寄りガイドが自動表示されるので、そこから市販品を探そう。
Tip 2: 歯車ペアモードで減速機の概算
減速機の検討は歯車ペアモードが最速。小歯車の歯数とモジュールを入力し、減速比を指定するだけ。従動歯車の全寸法と中心間距離が一括算出される。SVGプレビューで噛み合わせも確認できるので、レイアウト検討の初期段階に最適。
Tip 3: 比較テーブルでトレードオフを可視化
モジュール違い・歯数違いの複数パターンを並べて、外径や歯先円直径を一覧比較できる。「同じピッチ円直径でモジュールを変えたらどうなるか」の検討がワンクリック。
Tip 4: URL共有で設計レビューを効率化
計算結果のURL共有ボタンを押すと、現在の入力条件がURLにエンコードされてクリップボードにコピーされる。同僚にリンクを送れば、相手は同じ画面をそのまま開ける。
Tip 5: SVG保存で報告書に貼る
歯形プレビューや噛み合わせプレビューのSVG保存ボタンを使えば、設計報告書やプレゼン資料にそのまま貼り付けられる。ベクター形式なので拡大しても劣化しない。
よくある疑問
Q: データはどこに保存される？
すべてブラウザ内で処理される。サーバーにデータは送信されないし、エクスポート機能もブラウザのlocalStorageを使うだけ。プライバシーを重視した設計になっている。
Q: 転位歯車の計算はできる？
現在のバージョンでは転位歯車（転位係数を含む計算）には対応していない。標準歯車（転位なし）の概算確認に特化している。転位歯車の詳細計算が必要な場合は専用のCADソフトや歯車設計ソフトを使ってほしい。
Q: ヘリカル歯車（はすば歯車）の計算はできる？
ヘリカル歯車への対応は今後の拡張機能として検討中。現時点では平歯車（スパーギア）の計算のみ対応している。
Q: 圧力角はどれを選べばいい？
特に指定がなければ20°が標準。14.5°は旧JIS規格で、古い機械で使われていることがある。25°は高トルク・高強度が求められる特殊用途向け。迷ったら20°を選んでおけば問題ない。
Q: 歯車ペアの噛み合わせプレビューは正確？
プレビューは寸法の概観を示す簡易的な台形歯形で描画している。インボリュート曲線の厳密な歯形ではないので、干渉チェック等には使えない。あくまで「このサイズ感で噛み合う」という視覚的な確認用。
まとめ
ギアモジュール計算は、歯数・モジュール・ピッチ円直径の相互計算を3ステップで完了するツール。
3列グリッドで全値を一覧表示、歯車ペアモードで減速機の設計、比較テーブルでトレードオフの可視化、アンダーカット警告、JIS最寄りガイド、URL共有、SVG保存——概算チェックに必要な機能がすべてワンページに詰まっている。
動力伝達の設計ならベルト駆動設計ツールでVベルトの選定、スプライン強度計算で軸の伝達トルク検討もブラウザで完結する。軸受の寿命計算にはベアリング寿命計算が便利。構造設計に興味がある人は梁の安全審判員やボルト強度・破断モード診断も試してみて。
不具合や要望があれば、X (@MahiroMemo)から気軽に教えて。