2Dトラス解析シミュレーター

屋根トラスの軸力、まだ手計算で求めてる？

展示ブースの仮設フレームを設計していて、「この斜材、引張なの？ 圧縮なの？」と迷った経験はないだろうか。節点法で1つ1つ力のつり合いを紙に書いていると、符号を1か所間違えただけで全部やり直し——あの徒労感、構造を扱ったことがある人なら誰でも覚えがあるはずだ。

2Dトラス解析シミュレーターは、節点と部材を画面上で配置し、荷重を設定するだけで各部材の軸力（引張/圧縮）と支点反力を即座に算出するツール。ワーレン・プラット・ハウの3プリセットを用意してあるから、定番構造ならワンクリックで解析に入れる。引張は青、圧縮は赤でSVG上に色分け表示されるので、応力状態を「見て」把握できるのが最大の特長だ。

なぜトラス軸力計算ツールを作ったのか

教科書の節点法に挫折した原体験

大学の構造力学の授業で、6パネルのワーレントラスの軸力を節点法で解く課題が出た。節点ごとにΣFx=0、ΣFy=0を立てて逐次的に解いていく。7節点・11部材のワーレントラスで、連立方程式は14本。1か所でも符号を間違えると、下流の節点すべてが狂う。深夜3時にようやく全部解き終わったと思ったら、最後の節点でつり合いが合わない。結局最初からやり直して朝を迎えた。

あのとき「これ、コンピュータにやらせるべきだ」と確信した。

既存ツールへの不満

海外にはSkyCivやFTool、MDSolidなどの構造解析ツールがあるが、UIが英語で、しかもアカウント登録が必要なものが多い。日本語で使えて、スマホでもサクッと確認できるツールが見つからなかった。Excelで剛性行列を組む方法もあるが、部材を追加するたびに行列サイズを拡張してセル参照を修正する手間が大きい。

そこで、ブラウザだけで完結し、プリセットから即座に解析できるトラス計算ツールを自作することにした。

設計上のこだわり

• プリセット3種: ワーレン・プラット・ハウの定番トラスをワンクリックで呼び出し。初学者が構造の違いを比較するのに最適
• カスタムモード: 節点の座標・部材の接続・支点条件を自由に編集可能。片持ちトラスやK字トラスなど任意の構造に対応
• 色分けSVG: 引張=青、圧縮=赤、ゼロ=灰色。力の大きさに応じて線の太さも変わるから、応力の流れが一目でわかる

トラス構造 とは — 三角形を組み合わせた最も効率的な骨組み

トラス構造の基本原理

トラス構造とは、直線的な部材（棒材）を三角形に組み合わせて荷重を支える骨組み構造のこと。部材同士はピン接合（回転自由な結合）で結ばれ、各部材には軸方向の力（引張または圧縮）だけが作用する。曲げモーメントが発生しないため、同じ重量の材料でより大きな荷重を支えられる。

身近なたとえで考えてみよう。4本の棒で正方形を作ると、横から押すだけでひし形に変形してしまう。ところが対角線に1本加えて三角形を作ると、形が崩れなくなる。これがトラスの基本——三角形は変形しにくい、という幾何学的な性質を利用している。

トラスの種類と歴史

トラス構造は19世紀の鉄道橋ブームで急速に発展した。名前はそれぞれ考案者に由来する。

• ワーレントラス: 1848年にJames Warrenが特許取得。上下弦材の間を斜材のみで結ぶシンプルな構造。部材数が少なく製作コストが低い
• プラットトラス: 1844年にThomas & Caleb Prattが考案。垂直材と、中央に向かう斜材で構成。鉛直荷重を受けると斜材が引張になるため、細い部材（テンションロッド）が使える
• ハウトラス: 1840年にWilliam Howeが特許取得。プラットと逆に斜材が圧縮を受ける構成。木造トラスに多く採用された

トラス解析の基本式

トラス解析で使う基本概念は「つり合い条件」だ。静止しているトラスでは、すべての節点で力がつり合っている:

ΣFx = 0（X方向の力の合計がゼロ）
ΣFy = 0（Y方向の力の合計がゼロ）

節点数をn、部材数をm、反力数をrとすると:

• m + r = 2n → 静定トラス（ちょうど解ける）
• m + r > 2n → 不静定トラス（余分な拘束がある）
• m + r < 2n → 不安定構造（崩壊する）

トラスの種類 比較テーブル

代表的なトラス形式の特徴を比較しよう。

トラス形式	考案年	斜材の応力	垂直材	主な用途	部材数（6パネル時）
ワーレン	1848年	引張と圧縮が交互	なし	鉄道橋・歩道橋	少ない（11本）
プラット	1844年	引張が主	あり	鋼橋・屋根トラス	やや多い（17本）
ハウ	1840年	圧縮が主	あり	木造橋・倉庫屋根	やや多い（17本）
K字トラス	—	混合	短い垂直材	大スパン橋梁	多い（23本）
Vトラス	—	混合	なし	デザイン性重視の橋	中程度

ワーレントラスは部材数が最少で製作コストが低い。プラットトラスは斜材が引張になるため細い鋼材（テンションロッド）が使え、材料費の節約になる。ハウトラスは斜材が圧縮を受けるため木造に適していた歴史的背景がある。

トラス構造の歴史 — 鉄道ブームとの関係

トラス構造の急速な発展は、19世紀前半のアメリカ・ヨーロッパの鉄道ブームと密接に関係している。鉄道は大量の橋梁を必要とし、安価で早く架設できる構造形式が求められた。ハウトラス（1840年）→プラットトラス（1844年）→ワーレントラス（1848年）と、わずか8年の間に3つの主要形式が特許を取得したのはその表れだ。

日本では明治時代にお雇い外国人技師がトラス橋の技術を持ち込み、東海道本線の橋梁に多数のプラットトラスが採用された。現存する最古の鉄道トラス橋は、1877年架設の旧逢坂山トンネル付近の橋梁とされている。

参考: トラス構造 - Wikipedia

なぜトラスの軸力計算が重要なのか

圧縮部材の座屈リスク

トラス部材は軸力しか受けないが、圧縮力を受ける部材は座屈（バックリング）のリスクがある。細長い部材に圧縮力をかけると、ある臨界荷重を超えたところで急に横に曲がって破壊する。これがオイラーの座屈だ。

建築基準法施行令第67条では、トラス部材の細長比（座屈長さ/断面二次半径）に上限を設けている。圧縮材は200以下、引張材は300以下。つまり「この部材が圧縮なのか引張なのか」を正確に知ることは、部材断面の選定に直結する。

引張部材の強度確認

引張部材は座屈しないが、材料の引張強さを超えると破断する。JIS G 3101（SS400）の場合、許容引張応力度は156 MPa（長期）。軸力から応力度を求め、許容値と比較する必要がある:

σ = N / A
  σ: 軸応力度 [MPa]
  N: 軸力 [N]
  A: 断面積 [mm²]

実務での影響

2007年のミネアポリスI-35W橋崩落事故では、ガセットプレート（トラス接合部）の設計ミスが原因の一つとされた。トラスの軸力を正確に把握しないと、部材だけでなく接合部の設計も誤る。初期検討段階で軸力の方向と大きさを確認しておくことが、安全な構造設計の第一歩になる。

トラス軸力計算が活躍する場面

屋根トラスの設計

工場や体育館の大スパン屋根はトラス構造が定番。等分布荷重（積雪荷重・自重）を受けたときの各部材の軸力を把握し、圧縮部材には太い断面、引張部材には細い断面を割り当てる初期検討に使える。

橋梁の予備設計

歩道橋や小規模橋梁の概略設計で、プラットやワーレンのどちらが有利かを比較検討できる。荷重条件を変えて軸力分布の違いを確認し、最適なトラス形式を選定する。

仮設構造物の強度確認

展示ブースや仮設ステージのフレームは、限られた部材で組むことが多い。「この部材を1本抜いても大丈夫か？」という問いに、カスタムモードで部材を削除して再解析するだけで答えが出る。

構造力学の学習

教科書の節点法・切断法の答え合わせに最適。自分の手計算結果とツールの出力を比較すれば、どこで間違えたかがすぐわかる。

基本の使い方 3ステップ

ステップ1: トラス形式を選ぶ ワーレン・プラット・ハウのプリセットから選択するか、カスタムモードで自由に構造を定義する。プリセットを選ぶと、節点・部材・支点が自動的に配置される。

ステップ2: 荷重を設定する 「+ 荷重を追加」ボタンで節点荷重を追加し、作用する節点とX方向・Y方向の力（kN）を入力する。下向きの力はFyにマイナス値を入れる。

ステップ3: 結果を確認する SVGトラス図に軸力の色分けが即座に反映される。部材軸力テーブルと支点反力テーブルで数値を確認し、必要に応じて「結果をコピー」でクリップボードに出力する。

具体的なトラス解析の使用例 4ケース

ケース1: ワーレントラスに集中荷重

ワーレンプリセットを選択し、中央上弦節点（N5）にFy = -20 kNの鉛直荷重を加える。

→ 下弦材M0〜M2に引張（青）、上弦材M3〜M4に圧縮（赤）が発生。斜材は交互に引張と圧縮になる。中央に近い部材ほど軸力が大きく、これはトラスの基本的な応力分布パターンだ。

ケース2: プラットトラスに等間隔荷重

プラットプリセットを選択し、上弦の各節点（N4〜N7）にFy = -10 kNずつ荷重を加える。

→ 斜材（M10, M11）が引張になるのがプラットトラスの特徴。引張部材はテンションロッド（丸鋼）で済むため、材料コストを抑えられる。支点反力は左右均等になる。

ケース3: ハウトラスとの比較

ハウプリセットに同じ荷重条件を与えると、斜材が圧縮になる。プラットとハウの違い——「斜材の向きが変わると引張/圧縮が入れ替わる」——が一目瞭然。木造トラスでは圧縮に強い木材を斜材に使えるハウが有利だった歴史的背景が体感できる。

ケース4: カスタムで片持ちトラス

カスタムモードで、L字型の片持ちトラスを構成する。基部2節点をピン支点に設定し、先端に鉛直荷重を加える。

→ 基部に近い部材ほど大きな軸力が発生する。片持ち構造特有の応力集中パターンを確認できる。カスタムモードでは、部材を追加・削除しながら「最小限の部材で安定する構造」を探る実験ができる。

ケース5: ワーレントラスに非対称荷重 — 偏荷重の影響

ワーレンプリセットで、左側の上弦節点（N4）にFy = -30 kNの鉛直荷重を1点だけ加える。

→ 対称構造でも荷重が非対称なら軸力は非対称になる。荷重側の部材に大きな軸力が集中し、反対側の部材は相対的に小さい。支点反力も左右で異なり、荷重に近い支点のほうが大きな反力を負担する。注意点として、非対称荷重では「ゼロ部材」（軸力ゼロの部材）が出現しやすい。色分け表示で灰色になっている部材がそれだ。

ケース6: プラットトラスとワーレントラスの荷重比較 — 同一荷重での応力差

プラットプリセットとワーレンプリセットに同じ荷重条件（上弦各節点にFy = -10 kN）を与えて結果を比較する。

→ 最大軸力が発生する部材の位置と大きさが異なることが確認できる。一般にプラットトラスは斜材が引張になるため、鋼材設計では断面積を小さくできるメリットがある（引張部材は座屈しないため）。一方ワーレントラスは部材数が少ないため接合部（ガセットプレート）の数が減り、製作コストで有利。よくある間違いは「トラス形式は何でも同じ」と考えること。荷重条件と材料特性に応じて最適な形式は変わる。この比較を実際にやってみると、形式選定の勘所が体感できる。

仕組み・アルゴリズム — 剛性マトリクス法を採用した理由

候補手法の比較

トラスの軸力を求める手法は大きく3つある:

手法	概要	長所	短所
節点法	各節点でΣFx=0, ΣFy=0を解く	直感的、手計算向き	不静定に対応不可、逐次的で遅い
切断法	トラスを切断して断面の力を求める	特定部材だけ求められる	全部材を求めるには不向き
剛性マトリクス法	全体剛性行列を組み立てて連立方程式を解く	静定・不静定とも対応、プログラム化容易	行列演算が必要

本ツールでは**剛性マトリクス法（直接剛性法）**を採用した。理由は2つ:

1. 不静定トラスにも対応できる汎用性
2. アルゴリズムが体系的で、部材数が増えても同じ手順で解ける

計算フロー

1. 各部材の局所剛性行列を作成
   k = (EA/L) × [[c²,cs,-c²,-cs],[cs,s²,-cs,-s²],[-c²,-cs,c²,cs],[-cs,-s²,cs,s²]]
   （c = cosθ, s = sinθ, θ = 部材の傾斜角）

2. 全体剛性行列に組み立て（各部材の寄与を加算）
   K_global = Σ k_local

3. 境界条件（支点拘束）を適用して縮小
   K_reduced, F_reduced

4. ガウス消去法（部分ピボット付き）で変位を求める
   u = K_reduced \ F_reduced

5. 各部材の軸力を算出
   N = (EA/L) × [-c, -s, c, s] × u_member

計算例: 3節点の単純トラス

3つの節点（0,0）（3,0）（1.5,2）を三角形に結び、N0をピン支点、N1をローラー支点、N2にFy = -10 kNの荷重を加える場合:

部材0 (N0→N1): L=3.0m, θ=0°, c=1, s=0
部材1 (N1→N2): L=2.5m, θ=143.1°, c=-0.6, s=0.8
部材2 (N2→N0): L=2.5m, θ=216.9°（逆方向）

全体剛性行列: 6×6
拘束DOF: N0のx,y（ピン）, N1のy（ローラー）→ 自由DOF: 3個
縮小行列を解いて変位を求め、軸力を算出

結果: 部材0 → 引張, 部材1 → 圧縮, 部材2 → 圧縮

本ツールではEA=1（単位軸剛性）で統一している。軸力計算には部材の相対的な剛性比が影響するが、全部材が同一断面の場合（多くの初期検討段階）、EAの値は軸力の計算結果に影響しない。変位は参考値として扱ってほしい。

他のトラス計算ツール・ソフトとの違い

項目	本ツール	SkyCiv	MIDAS
日本語UI	○	×	△
スマホ対応	○	△	×
アカウント不要	○	×	×
プリセット	3種	多数	多数
不静定対応	○	○	○
断面・応力度チェック	×	○	○
価格	無料	有料	有料

本ツールの差別化ポイントは「日本語UI・スマホ対応・アカウント不要」の3点。SkyCivやMIDASは本格的な構造解析ソフトで機能は豊富だが、初期検討や学習用途には過剰。「まず軸力の方向と大きさをサクッと確認したい」というニーズに、本ツールは最短距離で応える。

豆知識 — トラス構造の身近な例

東京タワーのトラス構造

東京タワー（1958年完成、高さ333m）は、約4,000トンの鋼材をトラス構造で組み上げている。同時期に建設されたエッフェル塔（約7,300トン）と比較すると、日本の鉄鋼技術の進化がわかる。風荷重と地震荷重の両方に耐える必要がある日本では、軽量かつ高剛性のトラス構造が合理的だった。

自転車フレームもトラス

自転車のダイヤモンドフレームは、実はトラス構造の応用。ヘッドチューブ・トップチューブ・ダウンチューブ・シートチューブ・チェーンステー・シートステーの6本の管で三角形を2つ作り、ライダーの体重とペダリング荷重を効率よく支えている。

紙のトラス橋コンテスト

工学部の新入生向けに「A4用紙とボンドだけでトラス橋を作り、どれだけ荷重に耐えられるか」を競うコンテストが世界中の大学で開催されている。三角形の配置と接合部の品質が勝敗を分ける。本ツールで軸力分布を事前にシミュレーションしておけば、圧縮部材を太く補強する戦略が立てられる。

Tips — トラス解析を効率よく進めるコツ

1. まずプリセットで感覚を掴む: いきなりカスタムで組む前に、ワーレン・プラット・ハウの3種に同じ荷重を加えて軸力分布の違いを観察しよう。トラス形式ごとの特性が体感できる

2. 荷重の符号に注意: Y方向の下向き荷重はマイナス値。建築系の慣例（下向きプラス）と逆なので注意。X方向は右向きがプラス

3. 安定判定を最初に確認: m + r < 2n（不安定）のまま荷重を加えても正しい結果は出ない。部材や支点を追加して「静定」または「不静定」にしてから解析しよう

4. カスタムモードは節点配置から: 先に全節点の座標を決めてから、部材の接続と支点条件を設定する順序が効率的

5. 結果コピーで記録を残す: 複数の荷重ケースを比較する場合、各ケースの結果をコピーしてテキストエディタに貼り付けておくと便利

対称構造なのに軸力が非対称になるのはなぜ？

荷重の位置が対称でない場合、構造が対称でも軸力は非対称になる。対称荷重（左右の上弦節点に同じ大きさの荷重）を加えれば、軸力も対称になるはずだ。微小な非対称が出る場合は数値誤差の可能性がある。

EAの値は結果に影響する？

本ツールでは全部材のEA（軸剛性）を1に統一している。全部材が同一断面の場合、EAの絶対値は軸力の計算結果に影響しない（変位のスケールには影響する）。異なる断面の部材が混在する場合は、EA比が軸力配分に影響するため、本ツールの結果は近似値として扱うこと。

不静定トラスの結果は信頼できる？

剛性マトリクス法は不静定構造にも対応している。ただし不静定次数が高い場合（m+r-2n ≥ 3）、各部材の実際の剛性（EA）が軸力配分に影響するため、全部材同一EAの仮定が妥当でないケースもある。高次不静定の場合は専門ソフトでの検証を推奨する。

計算データは外部に送信される？

一切送信されない。すべての計算はブラウザ内（JavaScript）で完結しており、サーバーとの通信は発生しない。入力データも保存されないため、ページを閉じるとリセットされる。

まとめ

2Dトラス解析シミュレーターは、節点・部材・荷重を定義するだけで軸力と反力を即座に計算できるツールだ。ワーレン・プラット・ハウの3プリセットで定番構造をすぐに解析でき、カスタムモードで任意の構造にも対応する。構造力学の学習から仮設構造物の初期検討まで、幅広い場面で活用してほしい。

関連ツール: 梁の安全審判員で梁の曲げ応力・たわみ・安全率を計算 / 鋼材断面のコンシェルジュで部材の断面性能を取得

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